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Le second degré
I Polynôme du second degré :
1) Définition
D1 p(x) est appelé polynôme du second degré si
∀ x R p(x) = ax² + bx + c avec a ∈ R*
b,c ∈ R
Exemple : p(x) = 3x² + 6x - 9
2) Forme canonique
P1 Un polygone du second degré peut toujours être mit sous la forme canonique.
∀ x ∈ R p(x)=a[(x + b )² - b² - 4ac]
2a 4a²
II Équation du second degré :
1) Définition
D2 Une équation du second degré est une équation qui peut se mettre sous la forme : ax² + bx + c = 0
Une solution de cette équation est appelée racine du polynôme.
Exemple : P(x) a pour racine 1 P(1) = 3 x 1² - 4 x 1 + 1 = 0
Q(x) a pour racine 3 Q(3) = 1 x 3² - 6 x 3 - 9 = 0
2) Calcul des racines
Th1 Pour résoudre l'équation ax² + bx + c = 0 on calcule :
∆ = b² - 4ac (∆ "delta" = discriminant)
∆ > 0 l'équation possède deux racines (solutions)
x₁ = -b - √∆ x₂ = -b + √∆
2a 2a
∆ = 0 l'équation possède 1 solution (racine double)
x₀ = -b
2a
∆ < 0 l'équation ne possède pas de solution.
Exemple : P(x) = 3x² - 4x + 1 = 0
Avec a = 3 b = -4 c = 1
Alors ∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4 x 3 x 1 = 16 - 12 = 4
Ainsi ∆ > 0 donc 2 solutions
x₁ = -b - √∆ x₂ = -b + √∆
2a 2a
= 4 - √4 = 4 + 2
2 x 3 2 x 3
= 4 - 2 = 6
6 6
= 1 = 1
3
3) Factorisation
Th2 Soit P(x) = ax² + bx + c alors
Si ∆ > 0 P(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Si ∆ = 0 P(x) = a(x - x₀)²
Si ∆ < 0 Pas de factorisation
Exemples : P(x) = 3(x - 1)(x - 1)
3
Q(x) = -1(x - 3)
III Inéquation du second degré :
1) Représentation graphique
Th2 La courbe représentative d'un polynôme du second degré ax² +bx + c
a : Son somment S a pour abscisse x₀ = - b
2a
Si a > 0 alors la parabole est orienté vers le haut
Si a < 0 alors la parabole est orienté vers le bas
2) Résolution
Th2 Soit P(x) = ax² + bx + c alors :
Si ∆ > 0 x -∞ x₁ x₂ +∞
P(x) a -a a
